Онгоц тэгшитгэл: яаж хийх вэ? Төрөл онгоц тэгшитгэл

нисэх онгоц сансрын өөр өөр аргаар (гэх мэт нэг цэг болон вектор, вектор, хоёр оноо, гурван оноо) тодорхойлсон болно. Энэ оюун ухаанд нь онгоц тэгшитгэл нь өөр өөр төрөлтэй байж болно юм. Мөн тодорхой нөхцөлд онгоц байж болно зэрэгцээ, перпендикуляр, intersecting гэх мэт Энэ талаар болон энэ зүйлд ярилцах болно. Бид биш, зөвхөн онгоц ерөнхий тэгшитгэлийг гаргаж сурах болно.

Тэгшитгэлийн хэвийн хэлбэр

R зай _3, тэгш өнцөгт координатын систем XYZ байгууллагад байдаг юм гэж бодъё. Бид вектор α, вектор α дуустал эхлэх цэг О. суллагдсан болно зурж онгоц P Хэрэв перпендикуляр байна тодорхойлдог.

дурын цэг Q = (X, Y, Z) дээр P илэрхийлэхэд. цэг Q тэмдэг үсэг р радиус вектор. векторын урт нь α P = IαI болон Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ) тэнцүү байна.

Энэ нэгж вектор, вектор α зэрэг чиглэлд чиглэсэн байна. α, β болон γ - Z тус тус векторыг, эерэг чиглэлд хооронд үүсдэг өнцөг Ʋ сансрын тэнхлэг X, Y, байна. вектор QεP Ʋ дээр цэгийн төсөөлөл P (P, Ʋ) = P (r≥0) тэнцүү болох нь тогтмол байдаг.

Дээрх тэгшитгэл үед P = 0 утга учиртай юм. Энэ тохиолдолд зөвхөн N онгоц, P перпендикуляр байх болно цэг O (α = 0), гарал үүсэл, мөн нэгж вектор Ʋ, цэг O суллагдсан гаталж байсан хэдий ч түүний чиглэл, вектор Ʋ тодорхойлно гэсэн үг юм тэмдэг хүртэл. вектор хэлбэрээр Өмнөх тэгшитгэл нь манай онгоц P юм илэрхийлэв. Гэвч түүний координатын бодлоор бол:

P-ээс их буюу 0 болгон бид хэвийн хэлбэрээр онгоц тэгшитгэлийг олсон байна тэнцүү байна.

ерөнхий тэгшитгэл

координатын дахь тэгшитгэл нь тэгтэй тэнцүү биш юм ямар ч тоо үржүүлж байгаа бол бид энэ нь тэгшитгэл тэнцэх маш онгоц тодорхойлдог авна. Энэ нь дараах хэлбэртэй байна:

Энд, A, B, C - тэгээс ялгаатай нэгэн зэрэг тоо юм. Энэ тэгшитгэл онгоц ерөнхий хэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

онгоц тэгшитгэл. Тусгай тохиолдол

тэгшитгэл нь ерөнхийдөө нэмэлт нөхцөл өөрчилж болно. Тэдний зарим нь авч үзье.

урьдчилан тэнхлэг үхэр нь онгоц зэрэгцээ тэр коэффициент нь 0 байна гэж Энэ харуулж бодъё. Энэ тохиолдолд, тэгшитгэлийн хэлбэр нь өөрчлөгдөнө: Wu + оны + D = 0.

Үүний нэгэн адил, тэгшитгэлийн хэлбэр нь дараах нөхцөлд өөр өөр байх болно:

• Нэгдүгээрт, Б = 0 бол сүх + оны + D = 0 тэгшитгэл өөрчлөлт, тэнхлэг нь Oy нь зэрэгцээгээр харуулж байна.
• Хоёрдугаарт, C = 0 бол тэгшитгэл Ax + By + D = 0 болгон хувиргаж байна гэж урьдчилан тодорхойлсон тэнхлэгийн Oz зэрэгцээ талаар хэлэх юм.
• Гуравдугаарт, D = 0 бол тэгшитгэл Ax + By + оны = 0, онгоц O (эхлэл) огтлолцох гэсэн үг юм шиг харагдах болно.
• Дөрөвдүгээрт, хэрэв A = B = 0, оны + D = 0 тэгшитгэл өөрчлөлт, консорциум нь исэлдүүлсэн зэрэгцээгээр нь нотлох болно.
• Тавдугаарт, B = C = 0 бол тэгшитгэл Ax + D = 0, онгоц Oyz зэрэгцээ гэсэн үг болж байна.
• Sixthly, A = C = 0, тэгшитгэл хэлбэрээр Wu + D = 0, авдаг бол жишээ нь, параллелизм Oxz тайлагнана.

сегмент нь тэгшитгэлийн хэлбэр

тохиолдолд хаана тоо A, B, C, D тэгээс ялгаатай, тэгшитгэлийн хэлбэр (0) дараах байдлаар байж болох юм:

х / а + Y / B + Z / C = 1,

Нурсан = -D / A, B = -D / B, C = -D / В.

Бид ширхэг онгоц нь үр дүн тэгшитгэл гэж хүлээн авдаг. (0, б, 0), болон Oz - - (0,0, с) Энэ онгоц координат (а, 0,0), Oy хамт цэгт х тэнхлэгийн огтлолцол гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Өгөгдсөн тэгшитгэл х / а + Y / B + Z / C = 1, энэ нь зохицуулж урьдчилан системд байрлуулах онгоц харьцангуй үүнийхээ байх нь хэцүү байдаг.

хэвийн векторын координатыг

онгоц P хэвийн вектор н онгоцоор ерөнхий тэгшитгэл, жишээ нь N (A, B, C) коэффициент юм координатыг байна.

хэвийн N координатыг тодорхойлохын тулд энэ нь онгоц тухайн ерөнхий тэгшитгэлийг мэдэх нь хангалттай байдаг.

байдаг хэсэг дэх тэгшитгэл, ашиглаж байгаа бол хэлбэр нь х / а + Y / B + Z / C = 1, ерөнхий тэгшитгэлийг ашиглаж байх үед ямар нэгэн хэвийн векторын координатыг бичиж болно гэж тухайн онгоц нь: (1 / + 1 / B + 1 / в).

Энэ нь тусалж хэвийн вектор янз бүрийн асуудлыг шийдэх нь тийм ч тэмдэглэх нь зүйтэй. Хамгийн нийтлэг асуудал, онгоц болон нисэх онгоц, шулуун шугамын хоорондох өнцөг хоорондох өнцгийг олох даалгавар баталгаа перпендикуляр эсвэл параллель хавтгайд нь бүрдсэн байна.

цэг нь хэвийн векторын онгоц тэгшитгэл ба координатын дагуу бичнэ

А зэргийн вектор N, өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр, урьдчилан хавтгайд нормаль (хэвийн) гэж нэрлэдэг.

зохицуулах сансарт (тэгш өнцөгт координатын системтэй) гэж Oxyz тогтоосон үзье:

• координат нь Mₒ цэг (hₒ, uₒ, zₒ);
• тэг вектор N = A * Би B * и + C * K +.

Та хэвийн N перпендикуляр Mₒ цэгт дамжин өнгөрөх онгоц тэгшитгэлийг гаргах хэрэгтэй.

орон зайн хувьд бид ямар ч дур мэдэн цэгийг сонгох, M (X, Y, Z) илэрхийлэхэд. цэг М тус бүр (X, Y, Z) радиус вектор байг байх болно R = * Би Y * и + Z * K, мөн цэг Mₒ радиус вектор (uₒ hₒ, zₒ) + X - rₒ = hₒ * Би uₒ + * и + zₒ * к. вектор MₒM вектор N перпендикуляр байх аваас цэг M, тухайн онгоцонд хамаарах болно. Бид скаляр бүтээгдэхүүнийг ашиглан orthogonality нөхцөл байдлыг бичих:

[MₒM, N] = 0.

MₒM = R-rₒ хойш онгоц вектор тэгшитгэл иймэрхүү харагдах болно:

[R - rₒ, N] = 0.

Энэ тэгшитгэл нь бас өөр нэг хэлбэр байж болно. Энэ зорилгоор скаляр бүтээгдэхүүний шинж чанар, мөн тэгшитгэлийн зүүн талд хөрвүүлсэн. [R - rₒ, N] = [R, N] - [rₒ, N]. Хэрэв [rₒ, N] S гэж тэмдэглэсэн, бид дараах тэгшитгэлийг авах: [R, N] - а = 0 эсвэл [R, N] = с, онгоц хамаарах өгсөн оноо радиус-вектор хэвийн векторын тооцоо нь тогтмол илэрхийлж байна.

Одоо та зохицуулах төрөл бичлэг онгоц манай вектор тэгшитгэл авч болно [R - rₒ, N] = 0 тул R-rₒ = (X-hₒ) * Би + (у-uₒ) * и + (Z-zₒ) * K, болон N = A * Би B * и C + * K +, бид:

Энэ нь бид тэгшитгэл хэвийн N перпендикуляр цэгт дамжин өнгөрөх онгоц бий болсон гэж болж байна:

A * (X hₒ) + B * (у uₒ) S * (Z-zₒ) = 0.

онгоц тэгшитгэл ба вектор онгоц collinear хоёр цэгийн координатын дагуу бичнэ

Бид хоёр дур мэдэн оноо М "(X ', Y' Z ') болон М" (X ", у", Z "), түүнчлэн вектор (а" А "нь ‴) тодорхойлно.

Одоо бид тэгшитгэл урьдчилан онгоц одоо цэг M "болон М" нэвтрүүлдэг бөгөөд тухайн векторын координатын M (X, Y, Z) зэрэгцээ хамт цэгийг бүр бичиж болно.

Тиймээс M'M вектор х = {х ", у у '; ZZ"} болон M "М = {Х" -x', Y 'Y'; Z "-z '} вектор нь Хавтгайн байх ёстой а = (а "нь" нь ‴) гэсэн үг юм (M'M М "M, а) = 0.

Тиймээс орон зай дахь онгоц нь бидний тэгшитгэл иймэрхүү харагдах болно:

онгоц Тэгшитгэлийн төрөл, гурван оноо нэвтрэх

(X ', Y' Z '), (X', Y ', Z'), нэг мөрт үл хамаарах бөгөөд, (х ‴ Байх ‴, Z ‴): хамгийн бид гурван оноо байна гэж үзье. Энэ нь тодорхой гурван цэгт дамжин өнгөрөх онгоц тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай. геометрийн онол энэ нь зөвхөн цорын ганц юм, онгоцонд ийм байх вэ гэдгийг баталжээ. Энэ онгоц цэг огтлолцох тул (X ', Y', Z '), түүний тэгшитгэл хэлбэр байх болно:

Энд, A, B, С тэр үед нь тэгээс ялгаатай байдаг. Мөн тухайн онгоц хоёр оноо огтлолцох (X ", у", Z ") болон (х ‴, Y ‴, Z ‴). Үүнтэй холбогдуулан нөхцөлд энэ төрлийн явуулж байх ёстой:

Одоо бид нэгдсэн системийг бий болгож чадна тэгшитгэл (шугаман) нь үл мэдэгдэх U, V, W нь:

Манай тохиолдолд Х, Y, эсвэл Z тэгшитгэл (1) хангасан дур мэдэн цэг зогсож байна. (1) тэгшитгэл ба тэгшитгэлийн (2) болон түүнээс дээш зурагт заасан тэгшитгэлийн (3) гэдэг системийн тогтолцоог харгалзан, вектор хангаж N (A, B, C) nontrivial юм. системийн тодорхойлогч тэг болох тул энэ юм.

Тэгшитгэл (1) бид авсан шүү дээ гэж энэ онгоц тэгшитгэл юм. 3 цэг нь тэр үнэхээр явдаг бөгөөд энэ нь шалгах нь хялбар юм. Үүнийг хийхийн тулд бид эхний эгнээнд элементийн өөр тодорхойлогч өргөжүүлэх. Одоо байгаа шинж чанар тодорхойлогч Манай онгоц нэгэн зэрэг гурван анхнаасаа урьдчилан тодорхойлсон цэгийг огтлолцох тэр доор (X ', Y' Z '), (X ", у", Z "), (X ‴, Y ‴, Z ‴). Тиймээс бид өмнө үүрэг даалгавар шийджээ.

хавтгайн хооронд Dihedral өнцөг

Dihedral өнцөг нь орон зайн геометрийн хэлбэр шулуун шугамын үүсдэг хоёр хагас онгоц үүссэн юм. Өөрөөр хэлбэл, хагас онгоц хязгаарлагдаж байна зайн нэг хэсэг.

Бид дараах тэгшитгэлийн хоёр онгоц байна гэж үзье:

Бид мэднэ вектор N = (A, B, C) болон N¹ = (A¹, H¹, S¹) урьдчилан онгоц дагуу перпендикуляр байдаг. Үүнтэй холбогдуулан векторууд N болон N¹ тэгш өнцөг (dihedral) эдгээр хавтгайн хооронд оршдог хооронд φ өнцөг. скаляр бүтээгдэхүүн өгсөн байна:

NN¹ = | N || N¹ | COS φ,

нарийн учир нь

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Энэ нь 0≤φ≤π авч үзэх нь хангалттай юм.

огтлолцож Үнэндээ хоёр нисэх онгоц, хэлбэр хоёр өнцөг (dihedral): φ _1, φ _2. Тэдний нийлбэр (φ ₁ + φ ₂ = тэнцэнэ) тэнцэхгүй тэнцүү байна. Тэдний cosines хувьд гэвэл, тэдний үнэмлэхүй утга ижил гэж хэлбэл, COS φ ₁ = -cos φ ₂ байдаг, гэхдээ тэдгээр нь өөр өөр шинж тэмдэг _{байдаг.} тэгшитгэлд (0) А, В, -A, -b С ба -C тус тус тэгшитгэлд орлуулж байгаа бол бид олж, нэг онгоц нь зөвхөн өнцөг тэгшитгэл COS φ нь φ тодорхойлох болно = NN ¹ / | N || N ¹ | Энэ нь π-φ орлуулж болно.

перпендикуляр хавтгайд нь тэгшитгэл

хавтгайд перпендикуляр гэж нэрлэдэг бөгөөд хоорондох өнцөг нь 90 градус байна. Дээр танилцуулсан материалыг ашиглан, бид бусад перпендикуляр хавтгайд тэгшитгэлийг олж болно. Бид хоёр онгоц байдаг бодъё: Ax + By + оны + D = 0 ба + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Бид ортогональ байна гэж хэлж болох уу COS = 0. Энэ нь NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0 гэсэн үг юм.

Зэрэгцээ онгоц тэгшитгэл

Энэ нь нийтлэг ямар ч оноо агуулаагүй хоёр зэрэгцээ онгоц гэж нэрлэдэг.

нөхцөл байдал зэрэгцээ онгоц (тэдний тэгшитгэл нь өмнөх хэсэгт адил байдаг) гэсэн вектор N болон N¹, тэдэнд перпендикуляр байдаг collinear. Энэ нь дараах нөхцөл харьцаа хангасан байна гэсэн үг:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

пропорциональ нэр томъёо тэлж байгаа бол - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

яг энэ өгөгдлийн хавтгайд гэдгийг харуулж байна. Энэ + + D¹ = 0 нэг онгоц зурах + оны + D = 0 + A¹h V¹u S¹z гэхэд тэр тэгшитгэл Ax + гэсэн үг юм.

хавтгайд цэг хүртэлх зай

Бид онгоц P (0) өгсөн юм байна гэж бодъё. Энэ координат бүхий цэгээс зайг олох шаардлагатай байна (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. Та үүнийг хийх онгоц II хэвийн төрх тэгшитгэлийг авчрах хэрэгтэй:

(Ρ, V) P (r≥0) =.

Энэ тохиолдолд, ρ (X, Y, Z) манай цэг Q, N р байрлах радиус вектор - н, перпендикуляр тэг цэгээс гарсан нь урт байна, V - нэгж вектор нь чиглэлд зохион юм.

нэг цэг Q = (X, Y, Z), P эзэмшдэг зөрүү ρ-ρº радиус вектор болон тухайн цэгийн радиус вектор Q ₀ = (uₒ hₒ, zₒ) вектор, үүнээс дээр хэтийн үнэмлэхүй утга юм V зайн г, Q-аас олох шаардлагатай байдаг тэнцүү = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) P нь:

D = | (ρ-ρ ^0, V) | боловч

(Ρ-ρ ^0, V) = (ρ, V ) - (ρ ^0, V) = P (ρ ^0, V).

Тиймээс энэ нь, болж байна

D = | (ρ ^0, V) P |.

Одоо А онгоц P нь _0-ээс зайн г тооцох нь тодорхой байна, энэ нь хэвийн харах онгоц тэгшитгэлийг хэрэглэх шаардлагатай байдаг, х зүүн талд шилжүүлэх болон х, у сүүлийн газар, Z орлох (hₒ, uₒ, zₒ).

Тиймээс бид г шаардлагатай үр дүнд үзэл бодлоо илэрхийлэх үнэмлэхүй утгыг олж болно.

хэл параметрүүдийг ашиглан бид тодорхой авах:

D = | Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

заасан цэг Q ₀ векторыг хооронд дараа нь, гарал үүсэл гэх мэт онгоц P нөгөө талд байгаа бол ρ-ρ ⁰ V байгаа нь мохоо өнцөг ийнхүү:

D = - (ρ-ρ ^0, V) = (ρ ^0, V) -p> 0.

U ижил талд байрлах гаралтай хамт цэг Q _0, хурц өнцөг үүсгэсэн байна тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл:

D = (ρ-ρ ^0, V) P = - (ρ ^0, V)> 0.

үр дүн гэж байсан тохиолдолд хоёр дахь нь (ρ ^0, V)> P (ρ ^0, V)

Түүний тангенс онгоц тэгшитгэл

tangency Mº цэг дээр гадаргуу онгоц тухай - гадарга дээр цэгийг дайруулан татсан муруйн бүх боломжит тангенс агуулсан онгоц.

тангенс онгоц тангенс цэг Mº нь тэгшитгэлд тэгшитгэл F (X, Y, Z) = 0 (uº hº, zº) байх нь энэ гадаргын хэлбэрээр нь:

F _X (hº, uº, zº) (hº X) + F _X (hº, uº, zº) (uº у) + F _X (hº, uº, zº) (Z-zº) = 0.

гадаргуу тодорхой Z = F (X, Y) тавих бол, тангенс онгоц тэгшитгэлээр тайлбарласан байгаа:

Z-zº = F (hº, uº) (hº X) + F (hº, uº) (Y uº).

Хоёр онгоц огтлолцлын

Онд гурван хэмжээст орон зайд нь уялдуулан зохицуулах систем (тэгш өнцөгт) Oxyz, давхцаж болон давхцаж байхгүй бол 'болон P "хоёр нисэх онгоц P өгсөн юм. ямар ч онгоц, тэгш өнцөгт ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлогдоно системийг зохицуулах байгаа учраас бид N + B х '+ у "A = 0 ба N тэгшитгэлийн A'x + V'u S'z + + D тодорхойлсон байна" гэж тооцдог "Z + D" нь = 0. Энэ тохиолдолд бид онгоц P "болон хэвийн N" (А "Б", C ") онгоц P нь" хэвийн N '(A', B ", C ') байна. Манай онгоц параллель биш, адил байна давхцаж байна, дараа нь эдгээр векторууд collinear байна. N '≠ N "↔ (A', B", C ') ≠ (λ * болон "λ * онд", λ * C "), λεR: математикийн хэлийг ашиглан бид энэ нөхцөл байдлаар бичиж болно байх. огтлолцлын P-д оршдог шулуун шугам "∩ P болон P, энэ хэргийг = P дахь үсэг нь хамт тэмдэглэсэн болно" гэв.

ба - мөр оноо (нийтлэг) онгоц P "болон P" нь олон ургальч бүрдсэн. Энэ мөр нь хамаарах ямар нэгэн цэгийн координат, нэгэн зэрэг тэгшитгэл A'x + V'u S'z + + D '= 0 ба А "х + B" + C у "Z + D" = 0 хангасан байх ёстой гэсэн үг юм. Энэ цэгийн координат нь дараах тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл байх болно гэсэн үг юм:

үр дүн тэгшитгэлийн энэ системийн уусмал (нийт) шугамын огтлолцол P "болон P" цэг болж ажиллах болно онооны бүрийн координатыг тодорхойлох болно, мөн координатын системд Oxyz (тэгш өнцөгт) орон зай дахь мөрийг тодорхойлох явдал юм.