Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр. Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр дээр теорем

гурвалжин гурван талыг (гурван өнцөг) бүхий Полигон юм. Ихэнх тохиолдолд хэсэг нь том үсгээр бичих, эсрэг оройнуудыг төлөөлж харгалзах жижиг үсгээр тэмдэглэсэн. Энэ нийтлэлд бид эдгээр төрлийн геометрийн хэлбэр, теорем, Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэртэй тэнцүү гэж юу тодорхойлох нь хараарай.

Төрөл хамгийн том өнцөг

гурван оройн хамт олон өнцөгт дараах төрөл:

• , Хурц тэгш өнцөгт нь бүх өнцөг хурц байх;
• тэгш өнцөгт нэг зөв өнцөг байх, түүнийг бүрдүүлэх тал, хөл нэрлэдэг, баруун өнцөг нь эсрэг зайлуулж байна талын гипотенуз гэж нэрлэдэг;
• мохоо үед нэг өнцөг нь мохоо байх ;
• адил хажуут, түүний хоёр тал гурав тэнцүү байдаг бөгөөд тэдгээр нь хажуугийн гэж нэрлэдэг бөгөөд - суурь нь гурвалжин;
• адил талт гурван тэнцүү тал байх.

шинж чанар

Гурвалжны төрөл тус бүрийн онцлог юм үндсэн шинж хуваарилах:

• хамгийн том тал нь үргэлж илүү өнцөг, мөн эсрэгээр нь эсрэг,
• тэнцүү том намын эсрэг тэгш өнцөг, мөн эсрэгээр байдаг;
• ямар ч гурвалжны хоёр хурц өнцгийг байна;
• гадаад өнцөг ямар ч дотоод өнцөг зэргэлдээ үгүй биш түүнд илүү;
• ямар ч хоёр өнцгийн нийлбэр нь ямагт 180-аас доошгүй градус байх үед;
• гадна өнцөг өөр хоёр булан, түүнтэй хамт mezhuyut биш юм нийлбэртэй тэнцүү.

Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр дээр теорем

теорем та геометрийн хэлбэр, Евклидийн хавтгайд байрлах бүх булан хүртэл нэмэх бол, дараа нь өөрсдийн нийлбэр нь 180 градус байх болно гэж заасан байна. -ын энэ теорем батлах оролдоод үзье.

Бид орой KMN бүхий дурын гурвалжин байх болтугай. М дээд эзэмших болно даяар шугам шууд зэрэгцээ KN (энэ нь мөр нь ч эвклидийн гэж нэрлэдэг). Ингэснээр оноо K ба А шугам MN өөр өөр талаас нь зохион байгуулсан бөгөөд энэ цэг нь тэмдэглэх нь зүйтэй. Бид AMS болон MUF, ижил өнцөг, интерьер шиг, шууд CN болон магистр, параллель байдаг хамтран MN intersecting бүрдүүлэх crosswise худлаа авах болно. Эндээс энэ нь гурвалжин, M ба N нь оройн байрласан өнцгийн нийлбэр CMA өнцөг хэмжээтэй тэнцүү байна гэсэн үг юм. Эдгээр гурван өнцөг KMA болон MCS-ын өнцөг нийлбэртэй тэнцүү сумын бүрдэнэ. мэдээ intersecting дотоод өнцөг нь харьцангуй талт зэрэгцээ шугам CL болон CM MA байдаг тул тэдгээрийн нийлбэр нь 180 градус байна. Энэ теорем нотолж байна.

үр дүн

Дээрх теорем дээр дараах ханы харуулж байна: гурвалжин бүр хоёр хурц өнцөг байна. Энэ батлахын тулд бидэнд энэ геометрийн хэлбэр нь зөвхөн нэг хурц өнцөг байна гэж бодоцгооё. Та бас булан тэр ч хурц биш юм гэж тооцох хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд энэ нь дор хаяж хоёр өнцөг, үүнээс магнитудын тэнцүү буюу 90 градус илүү агуу юм байх ёстой. Харин дараа нь өнцгийн нийлбэр 180 хэмээс дээш байдаг. , Ямар ч илүү ямар ч бага - Гэхдээ энэ Гурвалжны теорем нийлбэр өнцөгт дагуу 180 ° тэнцүү байдаг шиг байж болохгүй. Энэ нь батлагдсан байх ёстой байсан зүйл юм.

Эд хөрөнгийн гадна булан

гадаад байна Гурвалжны өнцөг, нийлбэр гэж юу вэ? Энэ асуултын хариулт нь хоёр аргын аль нэгийг нь хэрэглэх замаар олж авч болох юм. Эхлээд та өнцөг, орой тус бүр нэгийг нь авч байна гэж хэлбэл, гурван өнцөг нийлбэр олох хэрэгтэй юм. Хоёр дахь Та оройн зургаан өнцгийн нийлбэр олох хэрэгтэй гэсэн үг юм. Эхний биелэл эхэнд шийдвэрлэх хэрэгтэй. хоёр бүрийн дээд хэсэгт - Тиймээс, гурвалжин зургаан гадна булан агуулдаг. хос бүр нь босоо учраас, өөр хоорондоо тэнцүү өнцгийг байна:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Үүнээс гадна, энэ нь гурвалжны гадна булангийн хоёр интерьер, түүнтэй хамт mezhuyutsya биш юм нийлбэртэй тэнцүү гэж нэрлэдэг. тиймийн тул,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Эндээс энэ нь гадна өнцөг, орой тус бүр ойролцоо нэг нэгээр нь авч нийлбэр тэнцүү байх болно гэж харагдаж байна:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 х (∟A + ∟V ∟S +).

өнцгийн нийлбэр 180 градус тэнцүү гэдгийг харгалзан, тэр ∟A + ∟V ∟S = + 180 ° үзэж болно. Энэ нь ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 х 180 ° = 360 ° гэсэн үг юм. хоёр дахь сонголт нь ашиглаж байгаа бол зургаан өнцгийн нийлбэр нь хоёр дахин зохих илүү их байх болно. Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр, өөрөөр хэлбэл гадна байх болно:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 х (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

зөв гурвалжин

зөв гурвалжин өнцөг нийлбэртэй тэнцүү гэж юу болох, арал байна вэ? Хариулт нь, дахин, теоремийн нь гурвалжин өнцөг 180 градус хүртэл нэмнэ гэж заасан явдал юм. Дуу чимээ бидний мэдэгдэл (өмч) дараах байдлаар: зөв гурвалжны хурц өнцөг нь 90 градус хүртэл нэмж болно. Бид түүний үнэн зөвийг нотлох. Өгөгдсөн гурвалжин KMN, ∟N = 90 ° байг. Энэ нь ∟K ∟M = + 90 ° батлах шаардлагатай байна.

Тиймээс өнцөг ∟K + ∟M ∟N + = 180 ° нийлбэр дээр теоремын дагуу. Энэ нөхцөлд энэ нь ∟N = гэж 90 ° гэнэ. Энэ нь ∟K ∟M + + 90 ° = 180 ° болж байна. 90 ° = 90 ° - Энэ ∟K ∟M + = 180 ° юм. Энэ нь бидний батлах ёстой юм.

зөв гурвалжны Дээрх шинж гадна, та эдгээр нэмж болно:

• өнцөг, хөл эсрэг худал хурц байдаг;
• хөл нь ч илүү гурвалжин нь гипотенуз,
• гипотенузтой илүү хөлтэй, алдангийн дүн;
• 30 градусын өнцгөөр эсрэг орших гурвалжин хөл, гипотенуз тэн хагас нь, тэр нь хагас тэнцүү байна.

геометрийн хэлбэр өөр эд хөрөнгө гэх мэт Пифагорын теорем нь ялгаж болно. Тэр нь 90 градус (тэгш өнцөгт) өнцгөөр нь гурвалжны, хөл квадратуудын нийлбэр нь гипотенуз нь талбай тэнцүү гэж үзэж байна.

нь адил хажуут гурвалжны өнцөг нийлбэр

Өмнө нь бид адил хажуут гурвалжин гурван оройн нь Полигон, хоёр тэнцүү талыг агуулсан байна гэж хэлсэн байна. Энэ нь үл хөдлөх хөрөнгийн нэрлэдэг геометрийн тоо: өөрийн баазад өнцөг тэнцүү. АНУ-ын энэ баталж үзье.

түүний суурийг - гурвалжин KMN байна адил хажуут, SC авна. Бид ∟K = ∟N батлах шаардлагатай байна. Тэгэхээр бидэнд тэр магистр бодъё - KMN манай гурвалжны Bisector юм. эрх тэгш байдлыг хангах эхний шинж тэмдэг нь ICA гурвалжин MNA юм. Тухайлбал, таамаглалд CM = ДГ, MA, нийтлэг тал байна гэж ∟1 = ∟2 өгсөн MA, учир нь - энэ Bisector. хоёр гурвалжин нь тэгш ашиглах, нэг нь ∟K = ∟N гэж үзэж болох юм. Тиймээс теорем нь батлагдсан байна.

Гэхдээ бид нэг гурвалжин (адил хажуут) -ийн өнцгийн нийлбэр юу сонирхож байна. энэ талаар өөрийн онцлогтой байх албагүй учраас бид өмнө нь ярилцсан теорем эхлэх болно. Энэ нь бид хэлж чадна гэж ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, эсвэл 2 х ∟K ∟M + = 180 ° (∟K = ∟N гэх мэт). Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр дээр теорем өмнө нь батлагдсан байна гэж Энэ нь эд хөрөнгийг баталж болно.

Гурвалжны булан гэж үздэг шинж бусад тохиолдолд, бас ийм чухал ач холбогдолтой тайлан байдаг:

• -д нь адил талт гурвалжин өндөр, суурь доошилж байсан, тэгш тал ба хоорондох өнцөг дундаж Bisector нэгэн зэрэг нь тэгш хэмийн тэнхлэг түүний суурь,
• Дундаж (Bisector, өндөр), геометр дүрсийн талд эзэмшиж байгаа, эрх тэгш байна.

адил талт гурвалжин

Энэ нь бас зөв гэж нэрлэдэг, гурвалжин, бүх талуудад тэгш эрхтэй юм. Мөн тиймийн тул мөн адил тэгш, өнцөг. Тэдний нэг бүр нь 60 градус байна. АНУ-ын энэ хөрөнгийг баталж үзье.

Бид гурвалжин KMN байна гэж үзье. Бид KM = HM = Х. гэдгийг би мэднэ. Энэ нь адил талт гурвалжин ∟K = ∟M = ∟N дахь баазад байрлах өнцөг өмч дагуу гэсэн үг юм. + = 180 ° оноос хойш гурвалжин теорем ∟K + ∟M ∟N нь өнцгийн нийлбэр дагуу, дараа нь х 3 = 180 ° ∟K эсвэл ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Тиймээс, батламж нь батлагдсан байна. Дээрх теорем дээр үндэслэн дээрх нотлох баримт харахад, өнцгийн нийлбэр нь адил талт гурвалжин, бусад гурвалжин өнцөг нийлбэрээр 180 градус байна. Дахин хэлэхэд энэ теорем батлах шаардлагагүй юм.

нь адил талт гурвалжин шинж чанар нь зарим нэг шинж чанар нь одоо ч байдаг:

• нь геометрийн зурагт дундаж Bisector өндөр ижил, болон тэдгээрийн урт нь (Х √3) гэж тооцно: 2;
• Энэ Полигон тойрог circumscribing бол радиус (Х √3) тэнцүү байх болно: 3;
• тойрог нь адил талт гурвалжин бичээстэй бол түүний радиус (а х √3) байх болно: 6;
• (A2 х √3): геометрийн дүрсийн талбай томъёогоор тооцно 4.

мохоо гурвалжин

Тодорхойлолтоор бол нэгэн мохоо өнцөгт гурвалжин, түүний өнцөгт нэг нь 90 180 градусын хооронд байна. Гэхдээ хурц геометрийн хэлбэр, нөгөө хоёр өнцөг, тэд 90 градус ээс хэтрэхгүй байна гэж дүгнэж болно гэдгийг өгсөн. Тиймээс гурвалжин теоремын өнцгийн нийлбэр нь мохоо гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэрийг тооцож ажилладаг. Тиймээс бид аюулгүй Гурвалжны мохоо өнцөг нийлбэр 180 градус байдаг дээрх теорем дээр үндэслэн хэлж болно. Дахин хэлэхэд, энэ теорем дахин нотлох хэрэгтэй биш юм.