Дүүжин: хугацаа, томъёоны хурдатгал

материаллаг цэг (түүний масс биеийн жин харьцуулахад маш бага юм) нэгэн жигд таталцлын талбайд нь weightless inextensible судалтай дээр өлгөгдөх (биеийн) бүрдэнэ механик систем, математикийн савлуурыг (- Oscillator өөр нэр) гэж нэрлэдэг. төхөөрөмжийн бусад төрлийн байдаг. Харин үүний оронд нь судалтай weightless саваа ашиглаж болно. Дүүжин тодорхой олон сонирхолтой үзэгдлийн мөн чанарыг илчлэх болно. Үед түүний хөдөлгөөний жижиг далайц чичиргээ гармоник гэж нэрлэдэг.

механик системийн тухай ерөнхий мэдээлэл

дүүжин савладаг хугацаа томъёо Голландын эрдэмтэн Хьюгенс (1629-1695 гр г). үржүүлж байна. Исаак Ньютон энэ орчин үеийн механик тогтолцоо маш их хайртай байсан юм. 1656 онд тэр дүүжин механизм эхний цаг бий. Тэд эдгээр удаа хэт нарийн цаг хугацаа хэмжинэ. Энэ бүтээл физикийн туршилт, практик үйл ажиллагааны хөгжилд чухал алхам байсан юм.

дүүжин нь тэнцвэрийн байрлалд (босоо өлгөөтэй) -д бол таталцлын хүч утас хүчдэлийн хүчээр тэнцвэртэй болно. бус stretchable ээрмэл дээр Хавтгай дүүжин харилцааны эрх чөлөөний хоёр зэрэгтэй систем юм. түүний бүх эд анги, шинж чанарыг өөрчлөх нь зүгээр л нэг бүрэлдэхүүн өөрчлөгдөж хэрэгтэй. Жишээлбэл, утас нь саваа сольсон бол, дараа нь энэ механик систем чөлөөний зөвхөн 1 градус байна. Тэгвэл математик дүүжин шинж? системийг ийм энгийн системээс онд үе үе Фото нөлөөн дор, эмх замбараагүй байдлын улмаас байна. Энэ тохиолдолд, түдгэлзүүлэх цэг нь хөдөлж байгаа, мөн дүүжин oscillates онд шинэ тэнцвэрт байр суурь байдаг. хүртэл, энэ механик системийн доош огцом хэлбэлзэл тогтвортой байр сууриа "дээрээс нь доош нь." болсон бол Энэ нь бас түүний нэрийг байна. Энэ нь Kapitza дүүжин гэж нэрлэдэг.

дүүжин шинж чанар

Дүүжин маш сонирхолтой шинж чанартай байдаг. Эдгээр нь бүгд сайн мэдэх биет хуулиар дэмжигдсэн байдаг. бусад дүүжин хоолойн хэлбэлзлийн үе ийм биеийн хэмжээ, хэлбэр гэх мэт янз бүрийн нөхцөл байдлаас хамаардаг, энэ цэг хувьд түдгэлзүүлэх цэг болон хүндийн төв, жин хуваарилах хоорондын зай. яагаад бие өлгөөтэй хугацааны тодорхойлолт нь маш хэцүү байдаг юм. энгийн дүүжин, үүнээс томъёо доор өгөгдсөн хугацааг тооцох нь хамаагүй хялбар байдаг. Эдгээр хэв маягийг ажиглаж үр дүнд ижил төстэй механик систем дээр тохируулж болно:

• дүүжин ижил урттай, ачааллыг нь янз бүрийн түдгэлзүүлсэн хадгалахын сацуу, хоолойн хэлбэлзлийн үе, ижил авах бол тэдний жин нь ихээхэн өөр өөр байх болно боловч. Үүний үр дүнд, дүүжин хугацаа ачааллын жин хамааралтай биш юм.

• системийн дүүжин буурч эхэлдэг бол хэтэрхий том биш, харин янз бүрийн өнцөг, энэ нь мөн үеийнхээс хэлбэлзэх боловч өөр өөр amplitudes байна. тэнцэл төвөөс хазайлт биш боловч тэдний хэлбэрээр нь хэтэрхий том хэлбэлзэл нь гармоник хангалттай ойрхон байх болно. Ийм дүүжин хугацаа долгионд далайц хамааралтай биш юм. механик системийн Энэ нь үл хөдлөх хөрөнгийн isochronism (- цаг хугацаа "Izosov" - тэнцүү Грекийн "chronos" -д) гэж нэрлэдэг.

энгийн дүүжин хугацаа

Энэ зураг хэлбэлзлийн байгалийн хугацааг илэрхийлнэ. нарийн төвөгтэй боловсруулах хэдий ч үйл явц нь өөрөө маш энгийн юм. утас математик дүүжин L, болон таталцлын хурдатгал г урт, энэ утга нь тэнцүү бол:

T = 2π√L / г

ямар ч байгалийн oscillations Жижиг хугацаа дүүжин масс болон савладаг далайц хамааралтай биш юм. Энэ тохиолдолд, математик дүүжин багасгасан урт нь хөдөлгөдөг байна.

математикийн дүүжин Oscillations

Математикийн дүүжин, oscillates энгийн дифференциал тэгшитгэлээр тодорхойлж болно нь:

X + ω2 нүгэл х = 0,

хаана х (T) - үл мэдэгдэх функц (цаг тонн үед тэнцвэрт доод байрлалаас хотойлтын энэ өнцөг, радианаар илэрхийлсэн); ω - эерэг тогтмол дүүжин (ω = √g / L, хувьсагч тодорхойлно хаана гр - таталцлын хурдатгал болон L - энгийн дүүжин (түдгэлзүүлсэн) урт юм.

тэнцвэрийн байрлалд (гармоник тэгшитгэл) дараах байдлаар ойролцоох жижиг oscillations тэгшитгэл:

X + ω2 нүгэл х = 0

дүүжин хэлбэлзэх хөдөлгөөн

Дүүжин, sinusoid хөдөлж, жижиг oscillations болгодог. Хоёрдугаар зэрэг ялгаатай тэгшитгэл бүх шаардлага, ийм хөдөлгөөн параметрүүдийг үгийн утганд яг тохирч. Та нар хурд, координат, дараа нь бие даасан тогтмолыг тодорхойлж тохируулах хэрэгтэй замыг тодорхойлох:

х = A нүгэл (θ ₀ + ωt)

хаана θ ₀ - эхний үе шат, А - хэлбэлзлийн далайц, ω - мөчлөгт давтамж хөдөлгөөний тэгшитгэлийн тодорхойлно.

Дүүжин (том amplitudes томъёо)

Энэ нь механик систем, том далайцтай тэдний oscillations хийж, энэ нь илүү төвөгтэй замын хөдөлгөөний хууль хамаарна. Тэд ийм дүүжин зориулж томъёогоор тооцно:

нүгэл нь х / 2 = U * SN (ωt / у)

хаана SN - синус Jacobi, у <1 бол тогтмол үйл ажиллагаа бөгөөд жижиг у хувьд энгийн тригонометрийн синус давхцаж байна. U утга нь дараах үзэл бодлоо чөлөөтэй илэрхийлэх замаар тодорхойлно:

у = (ε + ω2) / 2ω2,

хаана ε = E / mL2 (mL2 - дүүжин эрчим хүч).

дараах томъёогоор дүүжин шугаман бус савладаг хугацааг тодорхойлох:

T = 2π / Ω,

Энд Ω = π / 2 * ω / 2K (у), K - зууван салшгүй, π - 3,14.

separatrix нь дүүжин хөдөлгөөн

Энэ нь динамик систем нь хоёр хэмжээст үе шат нь орон зайн separatrix чиг хандлагад гэж нэрлэдэг. Дүүжин бус үе үе дээр явна. цаг хугацаа хязгааргүй хол цэгт энэ нь тэг хурдтай рүү хэт их дээд албан тушаалд нь оруулдаг, дараа нь аажмаар нэмэгдэж байна. Тэрээр эцэст нь анхны байрлалд буцаж, зогсов.

дүүжин хэлбэлзлийн далайц тоо Pi арга зам бол энэ үе шат нь хавтгайд хөдөлгөөн separatrix ойролцоо байдаг гэж ярьдаг. Энэ тохиолдолд, механик тогтолцоо нь бага хугацаанд жолооны хүчний үйл ажиллагааны хүрээнд эмх замбараагүй байдлыг чанартай байна.

Өнцөг ҮХ нь тэнцвэрийн байрлалаас нь энгийн дүүжин тохиолдолд шүргэх хүчний Fτ = -mg гэм нүглийн φ ноцтой тохиолддог. "Хасах" тэмдэг нь шүргэх бүрэлдэхүүн дүүжин хазайлтын чиглэлээс эсрэг чиглэлд чиглэсэн гэсэн үг юм. нь радиус L нь дугуй нуман дагуу х дүүжин нүүлгэн дамжуулан хандах үед түүний өнцөг шилжилт φ = X / Л. тэнцүү Хоёр дахь хууль Isaaka Nyutona, хурдатгал вектор, хүч чадал хүссэн үнэ цэнийг өгөх нь проекц зориулагдсан:

мг τ = Fτ = -mg нүгэл х / L

Энэ харьцаа дээр үндэслэн, энэ нь дүүжин нь шугаман бус тогтолцоо, түүний тэнцвэрт байрлалд буцаж хандлагатай хүчээр шиг биш юм үргэлж шилжилт х нүглийн х / L. пропорциональ гэдэг нь тодорхой байна

математик дүүжин жижиг чичиргээ гүйцэтгэдэг үед л энэ нь гармоник Oscillator юм. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь гармоник oscillations гүйцэтгэх чадвартай механик систем болдог. бараг 15-20 ° өнцөг Энэхүү ойролцоо хүчинтэй байна. том amplitudes нь дүүжин эв нэгдэлтэй байна.

нь дүүжин жижиг oscillations нь Ньютоны хууль

механик систем жижиг oscillations хийдэг бол 2-р Ньютоны хууль иймэрхүү харагдах болно:

мг τ = Fτ = -m * г / L * х.

Үүний үндсэн дээр бид энгийн дүүжин шүргэх хурдатгал тэмдэг "хасах" өөрийн нүүлгэн пропорциональ байна гэж дүгнэж болох юм. Энэ нь үүгээр систем нь гармоник Oscillator болох нөхцөл юм. нүүлгэн шилжүүлэлт болон хурдасгуураар хооронд Module пропорциональ хүчин зүйл өнцгийн давтамж талбай тэнцүү:

ω02 = г / л; ω0 = √ г / Л.

Энэ томъёо дүүжин энэ төрлийн жижиг oscillations байгалийн давтамжийг харуулж байна. Үүний үндсэн дээр

T = 2π / ω0 = 2π√ г / Л.

Тооцоо энерги хадгалагдах хууль дээр үндэслэн

дүүжин хөдөлгөөнийг савладаг Properties энерги хадгалагдах хууль тусламжтайгаар тодорхойлсон болно. Энэ нь санаж байх ёстой боломжит эрчим хүч нь таталцлын талбайд дүүжин байна:

E = mgΔh = МГЛ (1 - COS α) = mgL2sin2 α / 2

Бүрэн механик эрчим хүчний кинетик болон хамгийн их боломжийг тэнцүү: Epmax = Ekmsx = E

Та тэгшитгэлийн зүүн болон баруун талын деривативын авч энерги хадгалагдах хуулийг бичгээр дараа:

EP + EK = Const

тогтмолд үүсмэл 0-той тэнцүү байдаг тул дараа нь (EP + EK) '= 0 сумын үүсмэл үүсмэл нийлбэртэй тэнцүү:

EP '= (мг / L * x2 / 2)' = мг / 2 L * 2x * х '= мг / L * V + EK' = (mv2 / 2) = м / 2 (V2) '= м / 2 * 2v * V '= MV * α,

Тиймээс:

Мг / L * XV + чадсаар = V (мг / L * X + м α) = 0.

Өнгөрсөн томъёогоор дээр үндэслэн бид олж: α = - г / L * х.

математик дүүжин практик хэрэглээ

Хурдатгал үнэгүй намар , учир нь манай гаригийн эргэн тойронд царцдасын нягтрал ижил биш, өргөргийн нь харилцан адилгүй байдаг. чулуулаг нь өндөр нягтрал бүхий тохиолддог бол энэ нь бага зэрэг өндөр байх болно. математик дүүжин эрчимжүүлэх нь ихэвчлэн хайгуулын ашиглаж байна. төрөл бүрийн ашигт малтмалын түүний туслах дүр төрхтэй байна. Зүгээр л нэг дүүжин oscillations тоог тоолж, энэ нь дэлхийн хэвлийд нь нүүрс, эсвэл хүдэр илрүүлэх боломжтой юм. Энэ нь эдгээр нөөц сул чулуулаг доор хэвтэж илүү нь нягт, жин байх байгаатай холбоотой юм.

Сократ, Аристотель, Платон, Плутарх, Архимедын зэрэг алдартай эрдэмтдийн хэрэглэж математик дүүжин. Тэдний олонх нь механик систем хувь заяа, амьдрал нөлөөлж болох гэж үздэг. Архимед өөрийн тооцоо нь математик дүүжин байсан. Өнөө үед олон occultists болон мэргэ төлөгч түүнийг эш хэрэгжүүлэх, эсвэл хүн сураггүй алга болсон хайж энэ механик системийг ашигладаг.

Францын алдарт одон орон судлаач, эрдэмтэн, тэдний судалгааны Flammarion нь математик дүүжин ашигласан байна. Түүний тусламжтайгаар тэр хүн шинэ дэлхийн нээлт, Tunguska солир бий болон бусад чухал үйл явдлыг урьдчилан таамаглах боломжтой байсан гэжээ. Германд Дэлхийн II дайны (Берлин) үед дүүжин нь мэргэшсэн институт ажиллаж байсан. Өнөө үед ийм судалгаа Parapsychology бэлэн Мюнхений институт биш юм. дүүжин нь Түүний ажил "radiesteziey" хэмээх энэ байгууллагын ажилтнууд.