Суурь, хагас болон бүтэн: пирамид талбайг хэрхэн тооцох вэ?

математикийн оюутнууд шалгалтанд бэлтгэх алгебр ба геометр мэдлэг системтэй байх ёстой. Би ийм пирамид талбайг хэрхэн тооцох гэж мэдэгдэж байгаа бүх мэдээллийг нэгтгэх хүсэж байна. Түүнээс гадна, доод тал эхлэн бүх гадаргуу хүртэл тулгарч байна. тал нь гурвалжин юм шиг нөхцөл байдал нь тодорхой юм тулгарч байгаа бол суурь нь үргэлж өөр өөр байдаг.

Хэрхэн пирамидын суурийн үед газар байх вэ?

Энэ нь N-gon нь дур мэдэн гурвалжин нэлээд ямар ч хэлбэр байж болно. Тэгээд өнцөг тоо зөрүүтэй бусад энэ суурь, зөв, эсвэл буруу тоо байж болох юм. шалгалтын тухай оюутнууд ажлуудын ашиг сонирхлын суурь зөв тоо нь зөвхөн ажлын байр бий олжээ. Тиймээс бид зөвхөн тэдний тухай ярих болно.

адил талт гурвалжин

Энэ бол адил талт юм. Нэг нь бүх талууд тэгш байх бөгөөд захидалдаа "А" томилсон байна. Энэ тохиолдолд пирамид суурь талбай томъёогоор тооцно:

S = ⁽² * √3) / 4.

хавтгай дөрвөлжин

томъёо нь газар, хялбар юм тооцох "а" нь - тал нь дахин юм:

Тэгээд S = ^2.

Дур мэдэн тогтмол N-gon

өнцөгтийн нэг тэмдэглэгээ тал дээр. өнцөг тоо ашиглаж Латин үсэг N.

S = (N * ²⁾ / (4 * TG (180º / N)) .

Хэрхэн хажуугийн бүрэн гадаргуугийн талбайн тооцоонд оруулах вэ?

үндсэн хэлбэр нь зөв учраас, дараа нь пирамид бүх нүүр эрх тэгш байна. тал ирмэг тэнцүү хойш нь тус бүр нь адил хажуут гурвалжин юм. Дараа нь пирамид нь талын талбайг тооцохын тулд томъёог ижил monomials нийлбэрээс бүрдсэн байх хэрэгтэй. хувьд тоо нь үндсэн талд хэмжээгээр тодорхойлогдоно.

нь адил хажуут гурвалжны талбай нь үндсэн бүтээгдэхүүн тэн хагас нь өндөр үржүүлж томъёогоор тооцно. пирамид Энэ өндөр apothem гэж нэрлэдэг. Түүний зориулалт - "А". хажуугийн гадаргуугийн талбайн ерөнхий томъёо нь дараах байдалтай байна:

S = ½ P * A, хаана P - пирамидын суурийн периметр.

Энэ нь суурь тал руу нь тодорхойгүй байна удаа байдаг ч тал ирмэг (а) хавтгай ба оройд (α) дээр өнцөг байна. Дараа нь пирамидын хажуу талбайг тооцоолоход дараах томъёогоор ашиглаж тулгуурладаг:

S = N / 2 ² * нүгэл α.

Даалгавар № 1

Нөхцөл байдал. , Пирамид нийт талбайг ол түүний суурь бол нэгэн адил талт гурвалжин 4 см-ийн талд болон үнэ цэнэ √3 apothem см байна.

Шийдвэр. Энэ нь үндсэн периметрийн тооцох нь эхлэх ёстой. Энэ нь байнгын гурвалжин, дараа нь P = 3 * 4 = 12 см-ийн apothem мэдэгдэж байгаа тул, нэг нь тэр даруй бүх хажуу гадаргуугийн :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^см2 талбайг тооцож болох ^{учраас.}

үндсэн гурвалжин авахын тулд газар (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^см2 үнэ цэнэ ^юм.

6√3 + 4√3 = 10√3 ^см2: бүхэлд нь талбайг тодорхойлохын тулд хоёр үр дүнд үнэ цэнийг дахин ^{хэрэгтэй.}

Хариулт. 10√3 ^см2.

Асуудлын № 2

Нөхцөл байдал. тогтмол quadrangular пирамид байдаг. 16 мм-ийн - суурийн урт нь 7 мм, хажуу ирмэг тэнцүү байна. Та өөрийн гадаргуугийн талбайг мэдэх хэрэгтэй.

Шийдвэр. polyhedron оноос хойш - тэгш өнцөгт, зөв, түүний баазад дөрвөлжин юм. үндсэн талбайг сонсож, хажуу тал квадрат пирамид тоолж чаддаг байх. талбайд томъёо дээш өгсөн байна. Мөн би гурвалжны бүх талын нүүрийг мэднэ. Тиймээс, та нар тэдний газар нутгийг тооцох Heron-н томъёог ашиглаж болно.

Эхний тооцоо нь энгийн байдаг ба энэ тоо хүргэдэг: 49 мм-ээс ^2. Хоёр дахь үнэ цэнийг тооцоолох semiperimeter хэрэгтэй: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 мм. Одоо бид адил хажуут гурвалжны талбайг тооцож болно: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54.644 мм-ээс ^2. дөрвөн гурвалжин байдаг тул эцсийн тоо тооцоолох үед 4 үржүүлж хэрэгтэй болно.

Олж авсан: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^мм2.

Хариулт. ^{2 мм-ийн} 267,576 хүссэн утга.

Даалгавар 3 №

Нөхцөл байдал. тогтмол quadrangular пирамид үед талбайг тооцох шаардлагатай байна. Энэ талбайн тал нь мэдэгдэж байгаа - 6 см, өндөр нь - 4 см.

Шийдвэр. Хамгийн хялбар арга бол периметрийн болон apothem-ийн бүтээгдэхүүнд томъёог ашиглаж байна. эхний утга нь ердөө л байдаг. хоёр дахь нь бага зэрэг хэцүү.

Бид Пифагорын теорем санаж, авч үзэх хэрэгтэй болно зөв гурвалжин. Энэ пирамид болон apothem, гипотенуз юм өндөрт үүссэн байна. Хоёр дахь хөл нь polyhedron өндөр Хэрэв голд унаж шиг талбайн тал хувь нь тал нь юм.

Тааламжтай apothem (зөв гурвалжны гипотенуз) √ тэнцүү (гуравдугаар сарын ² + 4 ²⁾ = 5 (см).

Одоо хүссэн үнэ цэнийг тооцох боломжтой байдаг: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 (см ^2).

Хариулт. 96 см-ийн ^2.

Асуудал 4 №

Нөхцөл байдал. Дана тогтмол зургаан өнцөгт пирамид. 22 мм-тэй тэнцүү түүний суурийн тал, хажуу ирмэг - 61 мм байна. Энэ polyhedron хажуу гадаргуугийн талбай нь юу вэ?

Шийдвэр. ажил №2-т заасны дагуу Хэрэв-д шалтгаан нь ижил байна. Зөвхөн пирамид баазад талбайд тэнд өгсөн, одоо энэ нь зургаан өнцөгт юм.

Эхний алхам нь дээрх томъёогоор ^{(6 * 22 2) / (суурь} талбай тооцно 4 * TG (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^см2.

Одоо та адил хажуут гурвалжин, тал нүүр нь хагас периметр олох хэрэгтэй. (22 + 61 * 2) :. = 72 см-ийн 2-р гурвалжны бүрийн талбайг тооцож, дараа нь зургаан дахин, суурь нь болсон нэгээр нь үржүүлэх Heron-ийн томъёогоор хэвээр байна.

Heron-ийн томъёогоор тооцоо: √ (72 * ^{(72-22) * (72-61) 2} ) = √435600 = 660 см-ийн ^2. 660 * 6 = 3960 см ^2: тооцоо хажуу гадаргуугийн талбайг хангах болно ^гэсэн. 5217,47≈5217 см ^2: Энэ нь тэднийг бүхэлд нь гадаргууг олж хүртэл нэмэх хэвээр ^байна.

Хариулт. Үндэслэл - 726√3 см-ийн ^2, тал нь гадаргуу - 3960 см ^2, нийт газар - 5217 см ^2.